Operasi Pada Himpunan

 A. Irisan Dua Himpunan

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan atau lebih tersebut. 

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. 

A⋂ B = {x | x є A dan x є B}  

Catatan: A⋂B dibaca A irisan B

Penyajian irisan dua himpunan dalam bentuk diagram venn

Contoh:

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A⋂B !

Jawab:

 

A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A⋂B = {3,5,7}

2. Diketahui P={bilangan asli kurang dari 10} dan Q={bilangan factor dari 16}. Tentukan P⋂Q!

Jawab: 

P ={bilangan asli kurang dari 10} maka anggota P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q = {bilangan factor dari 16} maka anggota Q={1,2,4,8,16}

Sehingga

P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q={1,2,4,8,16}

Jadi, P⋂Q={1,2,4,8}

3. Misal K={u,m,a,r},  L={a,g,u,s} dan M={f,a,h,r,u,d,i}. tentukan K⋂L, L⋂M, K⋂M dan K⋂L⋂M!

Jawab: 

* K={u,m,a,r},  

   L={a,g,u,s}

Jadi, K⋂L = {a,u}

* L={a,g,u,s}

   M={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, L⋂M={a}

* K={u,m,a,r},  

M={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, K⋂M={a,r}

* K={u,m,a,r},  

M={f,a,h,r,u,d,i }

L={a,g,u,s}

Jadi, K⋂L⋂M={a,u}

B. Gabungan Dua Himpunan (union)

Gabungan (union) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B.

Gabungan A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A ⋃ B = {x | x є A atau x є B}

Catatan:  A⋃B dibaca A gabungan B atau A union B.

Penyajian Gabungan (union) himpunan A dan B dalam bentuk diagram venn 

Contoh: 

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A⋃B !

Jawab:

 A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A⋃B = {1,2,3,5,7,8,9,11}

2. Misal X={u,m,a,r},  Y={a,g,u,s} dan Z={f,a,h,r,u,d,i}. tentukan X⋃Y, Y⋃Z, X⋃Z dan X⋃Y⋃Z!

Jawab: 

 * X={u,m,a,r},  

Y={a,g,u,s}

Jadi, X⋃Y = {a,g,m,r,s,u}

* Y={a,g,u,s}

Z={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, Y⋃Z ={a,d,f,g,h,i,r,u,s}

* X={u,m,a,r},  

Z={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, X⋃Z ={a,d,f,h,i,m,r,u}

* X={u,m,a,r},  

Y={f,a,h,r,u,d,i }

Z={a,g,u,s}

Jadi, X⋃Y⋃Z ={ a,d,f,g,h,i,m,r,u,s }

 

C. Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan 

A – B atau A\B.

Catatan: A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {x | x є A, x ∉ B}

B – A = {x | x є B, x ∉ A}

Penyajian Selisih (difference) himpunan A dan B dalam bentuk diagram venn, sebagai berikut:

Contoh:

Contoh: 

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A – B dan B – A !

Jawab:

 * A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A-B = {1,9}

* A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, B – A = {2,8,11}

 

2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9}, tentukan:

a. anggota S – P;

b. anggota P – Q;

c. anggota Q – P.

jawab: 

 a.  S = {1, 2, 3, ...,10}

    P = {2, 3, 5, 7}

    Jadi, S – P={1,4,6,8,9,10}

b. P = {2, 3, 5, 7}

    Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

    Jadi, P – Q={2}

c. P = {2, 3, 5, 7}

    Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

    Jadi, Q – P={1,9}

D. Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S (semesta) tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

Ac = {x | x є S dan x ∉ A}

Catatan: Ac dibaca A komplemen atau Komplemen A

Penyajian Komplemen himpunan A dalam bentuk diagram venn, sebagai berikut:

Contoh: 

1. Diketahui S= {1, 2, 3, ..,10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9},   tentukan Pc dan Qc

Jawab: 

* S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 

   P = {2,3,5,7}

   Jadi, Pc  = {1,4,6,8,9,10}

* S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

   Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

   Jadi, Qc = {2,4,6,8,10}

CONTOH SOAL PENGAYAAN HIMPUNAN

Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15} ; 

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Gambarlah himpunanhimpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

 a. P ⋂ Q ⋂ R

b. P ⋂ Q

c. Q ⋃ R

d. P ⋃ (Q ⋂ R)

e. QC

f. P – R 

JAWAB:

Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui Bahwa 

P ⋂ Q = {1, 2, 5}

Q ⋂ R = {2, 10}

P ⋂ R = {2, 4, 6}

a. P ⋂ Q ⋂ R = {2}

Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan P ⋂ Q ⋂ R

b. P ⋂ Q = {1,2,5}

Daerah arsiran di atas menunjukkan himpunan P ⋂ Q

c. Q ⋃ R ={1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 , 12, 14}.

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan Q ⋃ R. 

d. P ⋃ (Q ⋂ R) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.

Dari soal  dapat diketahui bahwa Q ⋂ R = {2, 10}, sehingga 

P ⋃ (Q ⋂ R)   ={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⋃ {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.

Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan

Daerah P ⋃ (Q ⋂ R)

e. QC = ={3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}

Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, …., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1}, sehingga 

Qc ={3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}.

Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan Qc

f. P – R = {1, 3, 5}

Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga

P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}= {1, 3, 5}

Diagram Venn disamping menunjukkan himpunan P – R

Silahkan materinya untuk di catat dan dipahami.....