Operasi Hitung pada bentuk Al Jabar

 

Baca Selengkapnya

Bentuk Aljabar Materi Matematika kelas 7 SMP

 Mudahnya belajar materi aljabar

Bentuk aljabar – Pelajar kelas 7 yang sedang mencari materi tentang aljabar, nggak usah jauh-jauh, yuk baca konten berikut sampai habis. Kali ini penulis akan membahas tentang aljabar. Bentuk aljabar merupakan suatu bentuk matematika yang penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Seperti mengetahui banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam waktu satu minggu, jarak tempuh dalam waktu tertentu, dan banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam waktu 5 hari, semua permasalahan tadi dapat diselesaikan menggunakan aljabar.

Bentuk Aljabar

Pengertian dari variabel, suku, faktor, koefisien, konstanta, dan suku jenis

Coba kita sama-sama perhatikan bentuk x + 5 dengan x merupakan pengganti dari bilangan bulat. Apabila x diganti dengan – 6, maka akan diperoleh x + 5 = – 6 + 5. Apabila x diganti dengan 0, maka diperoleh x + 5 = 0 + 5. Apabila x diganti dengan 200, maka diperoleh x + 5 = 200 + 5. Kesimpulannya adalah simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut dengan variabel.

Bentuk-bentuk seperti 4p², x² – x + 8, 3ax – 2 dan (x + 4) (x + 7) disebut sebagai bentuk-bentuk aljabar. Seperti 4p² artinya adalah 4 x p x p. Dimana 4p² adalah aljabar suku tunggal. Faktor-faktor yang terbentuk dari 4p² adalah 4, p, p², dan 4p. Sehingga, faktor-faktor yang berupa konstanta disebut dengan koefisien.

Bentuk dari x² – x – 6 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x², – x, dan – 6 sebagai suku-sukunya. Koefisien dari x² adalah 1, sedangkan koefisien dari x adalah -1. Pada penjabaran 4ax – 2 dan x² – x + 2, suku-suku 4xa dan –x adalah suku-suku yang memiliki variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku inilah yang disebut dengan suku-suku yang sejenis, sedangkan 4xa dan x² adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda, sehingga suku-suku seperti ini disebut dengan suku-suku tidak sejenis.

Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Penjumlahan dan pengurangan aljabar

Pembahasan berikutnya adalah penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar kelas 7. Untuk dapat memahami materi operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar, coba perhatikan situasi berikut ini.

Di dalam tas Yudi terdapat 12 buku dan 6 bolpoin. Selanjutnya, ke dalam tas tersebut dimasukkan 5 buku dan dari tas tersebut diambil 3 buah bolpoin. Sehingga di dalam tas Yudi sekarang ada (12 + 5) buku dan (6 – 3) bolpoin, atau 17 buku dan 3 bolpoin.

Apabila dalam tas Yudi banyaknya buku dinyatakan dalam x dan banyaknya bolpoin dinyatakan dengan huruf y, maka situasi tas Yudi yang semula adalah 12x + 6y kemudian terjadi 5x – 3y, sehingga situasi tas Yudi menjadi (12x + 6y) + (5x – 3y) atau (12 + 6) x + (5 – 3) y atau 17x + 3y.

Nah, dari situasi tersebut dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-suku sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada suku-suku sejenis.

Berikut contohnya!

Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian bentuk aljabar dapat diilustrasikan sebagai berikut. Seorang pengusaha akan memberi paket lebaran kepada setiap karyawannya yang terdiri dari 2 kaleng biskuit, 3 kaleng susu cair, dan 15 bungkus mie instan. Jika seorang pengusaha tadi memiliki 50 karyawan, maka pengusaha tersebut harus menyediakan 50 paket lebaran atau (50 x 2) kaleng biskuit, (50 x 3) kaleng susu cair, dan (50 x 15) mie instan. Jika x menyatakan kaleng biskuit, y menyatakan kaleng susu cair, dan z menyatakan mie instan, maka dapat ditulis 50 x 2x + 50 x 3y + 50 x 15z atau 50 x (2x + 3y + 15y).

Berikut contoh soal bentuk aljabar dalam perkalian konstanta!

Perkalian dan pembagian 2 bentuk aljabar

Dalam melakukan operasi perkalian dan juga pembagian dua bentuk aljabar, kita bisa memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, sebagaimana perkalian konstanta dengan aljabar. Ingatlah bahwa a : b = c sama artinya dengan a = b x c. Berikut contoh soal perkalian bentuk aljabar dan jawabannya!

Pangkat dan bentuk aljabar

Ingat bahwa an = a x a x a x a x . . . x a, n adalah bilangan bulat positif. Hal tersebut juga berlaku dalam aljabar, perhatikan contoh berikut!

(4x)² = 4x . 4x = 16x²

Demikian pembahasan tentang operasi hitung dari aljabar beserta soal soal bentuk aljabar smp. Semoga bermanfaat dan menambah pemahaman tentang materi soal operasi hitung bentuk aljabar kelas 7. 

Baca Selengkapnya

Operasi Pada Himpunan

 A. Irisan Dua Himpunan

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan atau lebih tersebut. 

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut. 

A⋂ B = {x | x є A dan x є B}  

Catatan: A⋂B dibaca A irisan B

Penyajian irisan dua himpunan dalam bentuk diagram venn

Contoh:

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A⋂B !

Jawab:

 

A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A⋂B = {3,5,7}

2. Diketahui P={bilangan asli kurang dari 10} dan Q={bilangan factor dari 16}. Tentukan P⋂Q!

Jawab: 

P ={bilangan asli kurang dari 10} maka anggota P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q = {bilangan factor dari 16} maka anggota Q={1,2,4,8,16}

Sehingga

P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q={1,2,4,8,16}

Jadi, P⋂Q={1,2,4,8}

3. Misal K={u,m,a,r},  L={a,g,u,s} dan M={f,a,h,r,u,d,i}. tentukan K⋂L, L⋂M, K⋂M dan K⋂L⋂M!

Jawab: 

* K={u,m,a,r},  

   L={a,g,u,s}

Jadi, K⋂L = {a,u}

* L={a,g,u,s}

   M={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, L⋂M={a}

* K={u,m,a,r},  

M={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, K⋂M={a,r}

* K={u,m,a,r},  

M={f,a,h,r,u,d,i }

L={a,g,u,s}

Jadi, K⋂L⋂M={a,u}

B. Gabungan Dua Himpunan (union)

Gabungan (union) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B.

Gabungan A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A ⋃ B = {x | x є A atau x є B}

Catatan:  A⋃B dibaca A gabungan B atau A union B.

Penyajian Gabungan (union) himpunan A dan B dalam bentuk diagram venn 

Contoh: 

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A⋃B !

Jawab:

 A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A⋃B = {1,2,3,5,7,8,9,11}

2. Misal X={u,m,a,r},  Y={a,g,u,s} dan Z={f,a,h,r,u,d,i}. tentukan X⋃Y, Y⋃Z, X⋃Z dan X⋃Y⋃Z!

Jawab: 

 * X={u,m,a,r},  

Y={a,g,u,s}

Jadi, X⋃Y = {a,g,m,r,s,u}

* Y={a,g,u,s}

Z={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, Y⋃Z ={a,d,f,g,h,i,r,u,s}

* X={u,m,a,r},  

Z={f,a,h,r,u,d,i }

Jadi, X⋃Z ={a,d,f,h,i,m,r,u}

* X={u,m,a,r},  

Y={f,a,h,r,u,d,i }

Z={a,g,u,s}

Jadi, X⋃Y⋃Z ={ a,d,f,g,h,i,m,r,u,s }

 

C. Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan 

A – B atau A\B.

Catatan: A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {x | x є A, x ∉ B}

B – A = {x | x є B, x ∉ A}

Penyajian Selisih (difference) himpunan A dan B dalam bentuk diagram venn, sebagai berikut:

Contoh:

Contoh: 

1. Diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}. Tentukan A – B dan B – A !

Jawab:

 * A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, A-B = {1,9}

* A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7, 8, 11}

Jadi, B – A = {2,8,11}

 

2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9}, tentukan:

a. anggota S – P;

b. anggota P – Q;

c. anggota Q – P.

jawab: 

 a.  S = {1, 2, 3, ...,10}

    P = {2, 3, 5, 7}

    Jadi, S – P={1,4,6,8,9,10}

b. P = {2, 3, 5, 7}

    Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

    Jadi, P – Q={2}

c. P = {2, 3, 5, 7}

    Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

    Jadi, Q – P={1,9}

D. Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S (semesta) tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

Ac = {x | x є S dan x ∉ A}

Catatan: Ac dibaca A komplemen atau Komplemen A

Penyajian Komplemen himpunan A dalam bentuk diagram venn, sebagai berikut:

Contoh: 

1. Diketahui S= {1, 2, 3, ..,10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9},   tentukan Pc dan Qc

Jawab: 

* S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 

   P = {2,3,5,7}

   Jadi, Pc  = {1,4,6,8,9,10}

* S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

   Q = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

   Jadi, Qc = {2,4,6,8,10}

CONTOH SOAL PENGAYAAN HIMPUNAN

Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15} ; 

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Gambarlah himpunanhimpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

 a. P ⋂ Q ⋂ R

b. P ⋂ Q

c. Q ⋃ R

d. P ⋃ (Q ⋂ R)

e. QC

f. P – R 

JAWAB:

Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui Bahwa 

P ⋂ Q = {1, 2, 5}

Q ⋂ R = {2, 10}

P ⋂ R = {2, 4, 6}

a. P ⋂ Q ⋂ R = {2}

Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan P ⋂ Q ⋂ R

b. P ⋂ Q = {1,2,5}

Daerah arsiran di atas menunjukkan himpunan P ⋂ Q

c. Q ⋃ R ={1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 , 12, 14}.

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan Q ⋃ R. 

d. P ⋃ (Q ⋂ R) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.

Dari soal  dapat diketahui bahwa Q ⋂ R = {2, 10}, sehingga 

P ⋃ (Q ⋂ R)   ={1, 2, 3, 4, 5, 6} ⋃ {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.

Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan

Daerah P ⋃ (Q ⋂ R)

e. QC = ={3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}

Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, …., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1}, sehingga 

Qc ={3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}.

Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan Qc

f. P – R = {1, 3, 5}

Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga

P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}= {1, 3, 5}

Diagram Venn disamping menunjukkan himpunan P – R

Silahkan materinya untuk di catat dan dipahami.....

Baca Selengkapnya

Tugas Daring untuk Materi Himpunan

Setelah pada pertemuan tatap muka kita membahas diagram venn dan contohnya untuk mempertegas materi tersebut coba kerjakan soal tentang diagram venn 

1. Dari survey yang dilakukan disuatu kelas yang julmah siswanya ada 30 orang, didapatkan data bahwa ada 21 siswa yang suka pelajaran IPS, ada 19 siswa yang suka pelajaran IPA, dan ada 15 siswa yang suka pelajaran IPS dan IPA. Berapa orang yang tidak suka pelajaran IPS danIPA dan gambar diagram vennya?
2. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli?

Selamat mengerjakan seamat daring tetap semangat dan jaga kesehatan...

Baca Selengkapnya

Contoh Soal berkaitan dengan diagram Venn

Setelah kalian membaca beberapa unsur yang berhubungan dengan Himpunan diantaranya ada mengenai diagram venn.

untuk memahami diagram venn coba perhatikan beberapa soal yang berkaitan dengan diagran venn... 

Contoh Soal 1

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

Jawab:

Kita gunakan diagram ven untuk menjawab soal tersebut. Jika kita gambarkan dengan diagram ven maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.

Contoh Soal 2

Dari beberapa anak remaja diketahui 25 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi dan 12 orang suka susu dan kopi. Dari data di atas jawablah pertanyaan di bawah ini.

a. jumlah semua anak remaja

b. jumlah remaja yang suka susu saja

c. jumlah remaja yang suka kopi saja

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya

Jawab:

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus membuat data tersebut menjadi bentuk diagram ven. Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka.

a. jumlah semua anak remaja = 33 orang

b. jumlah remaja yang suka susu saja = 13  orang

c. jumlah remaja yang suka kopi saja = 8 orang

d. jumlah remaja yang suka kedua-duanya = 12 orang

Contoh Soal 3

Hasil survey terhadap 35 orang penduduk di suatu desa, diperoleh hasil sebagai berikut: 18 orang menyukai teh, 17 orang menyukai kopi, 14 orang menyukai susu, 8 orang menyukai minum teh dan kopi, 7 orang menyukai teh dan susu, 5 orang menyukai kopi dan susu, 3 orang menyukai ketiga-tiganya. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan tentukan banyaknya warga menyukai teh, menyukai susu, menyukai kopi, dan tidak menyukai ketiga-tiganya.

Jawab:

Diagram Venn dari keterangan di atas seperti gambar berikut ini.

Dari diagram venn di atas maka banyaknya warga yang gemar minum teh saja ada 6 orang, gemar minum susu saja ada 5 orang, gemar minum kopi saja ada 7 orang  dan tidak gemar ketiga-tiganya ada 3 orang.

Contoh Soal 4

Jika diketahui banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 adalah 75 orang. Di antara kepala keluarga ini yang berlangganan koran ada 50 orang, yang berlangganan majalah ada 25 orang, yang berlangganan majalah dan koran ada 10 orang. Dengan menggunakan bantuan diagram Venn, tentukan banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidak berlangganan keduanya!

Jawab:

Jika digambarkan maka bentuk diagram vennya menjadi seperti gambar berikut ini.

Berdasarkan gambar diagram venn di atas maka banyaknya kepala keluarga dari warga RT 02 yang tidak berlangganan keduanya ada 10 orang.

semoga setelah berlatih beberapa soal yang berkaitan dengan diagram venn kalian bisa lebih memahami diagram ini dan untuk lebih jelasnya akan dibahas dalam pertemuan dikelas...selamat belajar dan tetap semangat..

Baca Selengkapnya

HIMPUNAN DAN UNSUR UNSUR HIMPUNAN

Siswa SMPN 1 Pasaleman sedang divaksinasi Covid-19

A. Pengertian Himpunan, Menuliskan dan Menyatakan Himpunan

Definisi dari Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.

Contoh 1

"Kumpulan bunga-bunga yang cantik". Kalimat ini tidak dapat kita sebut sebagai himpunan karena bunga yang cantik itu relatif (bunga yang cantik menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain).  Dengan kata lain, kumpulan bunga cantik tidak dapat didefinisikan dengan jelas.

Contoh 2

"Rombongan siswa SMPN 1 Pasaleman yang berwisata ke Jogjakarta". Kalimat kedua ini adalah himpunan. Mengapa? karena dengan jelas pada kalimat tersebut dikatakan bahwa yang berwisata ke Kota Jogjakarta  ialah siswa-siswi SMPN 1 Pasaleman.

Contoh 3

"Kumpulan makanan enak". Kalimat ini bukan merupakan suatu himpunan, karena makanan enak seseorang belum tentu enak menurut orang lain. Dengan kata lain, objek yang terdapat pada kalimat tersebut tidak terdefinisi dengan baik.

Contoh 4

"Kumpulan bilangan cacah yang kurang dari 5". Kalimat ini merupakan himpunan karena anggotanya dapat disebutkan yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.

Cara menuliskan Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, X, Z dan sebagainya. Anggota himpunan dituls di antara tanda {} (kurung kurawal), dan antara anggota yang satu dengan lainnya dipisahkan dengan tanda koma (,).

Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh berikut:

A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.

Kalimat diatas tersebut dapat kita tulis, A = {1, 2, 3, 4, 5}

Menyatakan Suatu Himpunan

Ada 3 (tiga) cara yang dapat dilakukan untuk menyatakan suatu himpunan yaitu sebagai berikut:

1. Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata

Perhatikan contoh berikut.

W = {empat huruf pertama dalam abjad latin}

H = {tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sampe sekarang}

A = {bilangan cacah yang kurang dari sepuluh}

2. Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Ketentuan penulisan notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:

{x|.......}

Keterangan:

x = variabel atau peubah yang menyatakan anggota suatu himpunan

| = dibaca "di mana"

.... = penyataan kalimat matematika yang menjadi syarat keanggotaan.

Perhatikan contoh berikut

A = {x|x = lima huruf pertama dalam abjad latin}

Dibaca : Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya p, dimana p adalah lima huruf pertama dalam abjad latin.

H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sampe sekarang}

Dibaca : Himpunan X adalah himpunan yang anggotanya x, dimana x adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009.

3. Menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar

Pada metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.

Perhatikan contoh berikut ini.

H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono, Joko Widodo}

A = {0, 1, 2, 3}

L = {a, b, c, d, e}

B. Anggota Himpunan

Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”. 

Perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA”  maka H adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A.  Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.

Contoh 2

Misalkan I adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA”  maka I adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A.  Huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A termasuk anggota himpunan I. Banyaknya anggota himpunan I adalah 10 buah, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A ditulis n(I) = 10.

Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya maka anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.

C. Himpunan Bagian

Pengertian Himpunan Bagian

Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".

Perhatikan himpunan-himpunan berikut:

A = {himpunan hewan}

B = {himpunan hewan berkaki empat}

C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:

A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}

B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}

C = {buaya, kura-kura}

Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.

Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)

Banyaknya suatu himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!

A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅

A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅

A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} dan ∅

A = {a, b, c, d}, banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d}  dan ∅

Dari 4 (empat) himpunan di atas dapat kita lihat bahwa

n(A) = 2 = 2^1

n(A = 4 = 2^2

n(A) = 8 = 2^3

n(A = 16 = 2^4

Dengan demikian kita dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut

Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2n. 

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}

Jawab:

n(A) = 3

jadi, N = 2³ = 8

Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:

A= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅

D. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan bilangan asli antara 3 dan 4.

Jawab:

A =∅ atau A = {} karena tidak ada bilangan asli antara 3 dan 4.

Contoh 2

Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L

Jawab :

H =∅ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.

Contoh 3

B = {bilangan cacah antara 2 dan 3}

Jawab:

Himpunan ini tidak memiliki angota, sehingga himpunan ini disebut kosong.

Ditulis, B = {} atau B = ∅

Contoh 4

Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!

a. himpunan bilangan prima genap

b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7

c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan

Jawab:

a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2

b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6

c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan

E. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U. 

Perhatikan contoh berikut.

Contoh

Jika A = {1, 3, 5, 7} maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.

a. S_1 = {bilangan ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.

b. S_2 = {bilangan asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.

c. S_3 = {1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.

F. Diagram Venn

Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:

1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang atau bersegi, sedangkan anggota-anggotanya digambarkan dengan noktah.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.

3. Jika suatu himpunan anggotanya terlalu banyak atau tak berhingga maka noktahnya tidak perlu di gambarkan.

G. Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus menjadi anggota B.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
 A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh :

A = {bilangan asli yang kurang dari sama dengan 5}

B = {bilangan asli antara 3 dan 7}

Tentukan A∩B

Jawab :

A = {1,2,3,4,5}

B = {4,5,6}

Maka A∩B = {4,5}, karena 4 dan 5 adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

H. Gabungan

Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”.

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 8} dan Q = {bilangan prima antara 2 dan 13}

Tentukan P ∪ Q !

Jawab:

P = {1,2,3,4,5,6,7}

Q= {3,5,7,11}

Sehingga, P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7,11}

I. Komplemen

Bila suatu himpunan A, semestanya S, maka komplemen dari A (ditulis Ac) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan A.

Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan sebagai berikut.
Ac = {x | x ∈ S atau x ∉ A} 

Misalkan:

S = {1,2,3,4,5,6,7}

Q = {2,3,4,}

Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}.

J. Penerapan Konsep Himpunan

Himpunan ini tidak hanya dipelajari di sekolah, namun sering digunakan dalam praktik kehidupan sehari-hari. Berikut ini adalah contoh kasusnya.

Misalkan suatu kelas terdiri dari 42 orang. 20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia. Berapa orang yang gemar keduanya?

Pembahasan 

Diketahui:

Banyak siswa di kelas 42 orang

20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia

Ditanya: Banyaknya siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia?

Jawab:

Pertama-tama, kita misalkan banyaknya siswa yang gemar matematika dan IPA adalah x.

Sehingga,

Banyaknya siswa yang gemar matematika adalah 20 - x

Banyaknya siswa yang gemar Bahasa Indonesia adalah 25 - x

Selanjutnya, kita mencari nilai x-nya.

42 = (20 - x) + (25 - x) + x

42 = 20 - x + 25 - x + x

42 = 45 - x

x = 3

Dengan demikian, kita peroleh bahwa siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia adalah 3 orang.

Baca Selengkapnya